Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

(*) Краткая биография Лобачевского, взятая из энциклопедического словаря.

«Н.И.Лобачевский происходил из бедной семьи государственных служащих. Родившись в Нижнем Новгороде, он большую часть жизни провёл в Казани, ведя аскетичный образ жизни и полностью посвятив себя математике. Молодой Николай смог получить образование благодаря государственной стипендии и оказался удачной инвестицией царской России. В 1814 г. он получил место преподавателя в Казанском университете, а через два года стал экстраординарным профессором. Он также отвечал за библиотеку и астрономическую обсерваторию. В 1827 г. Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он занимал этот пост в течение 19 лет, которые стали периодом процветания университета. Лобачевский провёл фундаментальные реформы и всячески поддерживал научные исследования. Парадоксально, но его блестящие результаты в работе над пятым постулатом привели к его увольнению. Согласно одной из мрачных легенд в истории математики, в 1846 г. Лобачевский был уволен ведущим математиком того времени Михаилом Остроградским, который не мог принять того, что Лобачевский бросил вызов самому Евклиду. Здоровье Лобачевского начало быстро ухудшаться, и в конечном итоге он потерял зрение. Ему пришлось диктовать многие из своих работ, в том числе свой последний труд «Пангеометрия» (1855). Умирая в Казани 24 февраля 1856 г., он понятия не имел о том, насколько была важна его работа для дальнейшего развития математики. Его научное наследие включает такие работы, как «О началах геометрии» (1829), «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1834–1838). В 1840 г. Лобачевский опубликовал небольшую книгу в 60 страниц, озаглавленную «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта короткая работа широко разошлась в научных кругах того времени, но, несмотря на это, математическое сообщество было не готово принять заключенные в ней идеи…»

---------------------------------------------------------

Итожим сказанное, крайне важное для дальнейшего понимания смысла данной работы. Итог же таков, что в первой половине 19-го века в противовес Евклидовой появляются новые Неевклидовы геометрии - гиперболическая геометрия Лобачевского и эллиптическая геометрия Римана! - открытия, потрясшие научный мiр.

Под геометрией математики стали уже понимать теорию, что описывает свойства абстрактных точек и линий. Всё! До этого же считалось, что геометрия - это система, кодифицированная Евклидом.

И самой первой Неевклидовой геометрией - с гордостью скажем это! - была Гиперболическая геометрия Лобачевского, которая возникла путём замены пятого постулата Евклида следующим утверждением:

«Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной».

И этим утверждением Лобачевский закрыл наконец проблему 5-го постулата, провозгласив рождение новой Неевклидовой геометрии, где этот постулат не работает по определению.

23 февраля 1826 г. Николай Иванович поразил научное сообщество своей теорией о параллельных прямых на конференции, состоявшейся на физико-математическом факультете Казанского университета. Его первые результаты были опубликованы в 1829 г. в журнале Казанского университета. В 1835 г. он опубликовал работу целиком под названием «Новые начала геометрии», где утверждал:

«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времён Евклида заставило меня подозревать, что в самих понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убеждён, и почитая затруднительный вопрос решённым вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 г.»

В 1868 году итальянский математик Бельтрами изучил вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности работает геометрия Лобачевского!...

«Впоследствии появились и другие модели геометрии Лобачевского. Эти модели окончательно установили, что геометрия Лобачевского не противоречива. Таким образом, было показано, что евклидова геометрия не единственно возможная. Это оказало большое прогрессивное влияние на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом.

А в XX веке было обнаружено, что геометрия Лобачевского важна не только для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и имеет прямое отношение к приложениям математики в физике. Выяснилось, что отношения пространства и времени, описанные в специальной теории относительности, напрямую связаны с геометрией Лобачевского. Например, формулы геометрии Лобачевского используются при разработке синхрофазотрона…»

13

«Неевклидова геометрия» родилась из 5-го постулата Евклида о параллельных, о который до этого обломали зубы многие поколения математиков с мiровыми именами и непомерными амбициями. Некоторые из них, как свидетельствуют историки, даже тронулись умом от невозможности с ним справиться - доказать или же опровергнуть: настолько неочевидным и непростым он всем казался с момента опубликования! И только гениальный Лобачевский пришёл к удивительному заключению, что 5-й постулат не надо пытаться доказывать или выводить из чего-то. Это действительно аксиома, но область применения которой достаточно ограничена, - только-то и всего! 5-й постулат работает, и хорошо, исключительно на плоскости: он - плоскостной. На любых же поверхностях с отрицательной или положительной кривизной он теряет свою актуальность: там нужно вводить иную, альтернативную аксиоматику… Лобачевский это и проделал - и поразил научный мiр новой геометрией, которая по строгости, изящности и полноте не уступала прежней, классической.

«Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то, что теория Евклида является вечной истиной» /Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен/…

«Неевклидова ересь», как и почти одновременное с ней введение в математику диковинных чисел - комплексных чисел и кванторов, - произвела эффект разорвавшейся бомбы в тихом и чопорном до того математическом королевстве. Она повергла учёных в шок, в тихий ужас даже, заставила коренным образом пересматривать взгляды на жизнь, на саму мать-Природу и её диковинное устройство. И, одновременно, - на базовые структуры всей классической математики, которые на поверку оказались менее однозначными и более субъективными, чем думалось и виделось прежде. Учёные, к неудовольствию своему, вынуждены были встряхнуться и “протрезветь” - чтобы заняться уже “математическим самоанализом”…

Часть седьмая

«...лучший продукт математического гения и одно из высших достижений чисто интеллектуальной человеческой деятельности» /Дэвид Гильберт о достижениях Кантора в математике/.

1

Вторая половина 19-го века принесла математикам новую головную боль и новые, ещё большие сомнения и разочарования, уже связанные с созданием теории множеств и математической логики. Две эти новые дисциплины позволили, с одной стороны, поставить обоснование математики на качественно новый уровень строгости; но, с другой, принесли некогда чопорной “царице наук” такие проблемы и противоречия, и нестыковки между отдельными её частями, от которых она до сих пор не оправилась. И не известно ещё - оправится ли!...

Если истоком «неевклидовой геометрии» стал 5-й постулат Евклида, - то истоком теории множеств, как представляется, стали парадоксы (или апории) Зенона, про которые ранее уже упоминалось вскользь…

Пред’история вопроса. Апории Зенона - внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, которые оставил потомкам видный философ и математик Древности Зенон Элейский, ставший автором якобы более 40-ка апорий. До нас же дошли всего 9-ть, но и их достаточно, чтобы оценить невероятную прозорливость и глубину мысли этого учёного.

Наиболее известны его парадоксы о движении: «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия» и «Стрела», - которые обсуждаются и анализируются уже много сотен лет мiровым учёным сообществом. Им посвящены сотни исследований и статей, а это уже само по себе говорит о многом.

Сначала они воспринимались как софизмы. И только потом, приблизительно с Аристотеля начиная, стали открываться взорам исследователей их фантастическая важность, актуальность и глубина. Бертран Рассел писал, например, что парадоксы Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней». И далее: «Проблематика аргументов Зенона далеко выходит за пределы конкретной исторической ситуации, обусловившей их появление. Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература; особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств».

Считается, что критические аргументы Зенона, что и рождали в итоге его парадоксальные апории, были связаны с его размышлениями о математических учениях пифагорейцев: апории фактически ставили под сомнение применение их количественных методов и подходов к исследованию реальных физических тел и пространственной протяжённости. И этот взгляд Зенона на изучение окружающего материального мiра полностью разделял потом строгий и убеждённый эмпирик Аристотель. 

Пифагорейская же школа, как уже подробно отмечалось выше, наоборот, выражала твёрдую уверенность в том, что математические закономерности лежат в основе всех законов мiрозданья. В частности, математическая модель движения в природе была создана ими и их последователями на основе геометрии.

Геометрия же пифагорейцев опиралась на ряд идеализированных понятий: тело, поверхность, фигура, линия. И самым идеализированным, и потому самым спорным было фундаментальное понятие точки пространства, что не имеет вообще никаких собственных измеримых характеристик: размера - прежде всего. Тем самым любая геометрическая кривая считалась одновременно и непрерывной, и состоящей из без-конечного количества отдельных точек - то есть дискретной, по сути, прерывной. Что было уже парадоксом, который, однако, внутри самой математики тогда ещё не вызывал проблем. Но применение этой изначально-порочной схемы к описанию реального движения поставило перед будущими исследователями большой вопрос. И Зенон Элейский был первым, кто эту глобального масштаба проблему, пусть и не до конца и не в полной мере, но осознал; и потом ясно и чётко сформулировал в серии своих парадоксов (апорий).

В двух его апориях («Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия») изначально предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы. После чего Зенон очень умно и изящно демонстрирует на примерах, что подобное допущение приводит к логическим трудностям, и это мягко сказано. Третья его апория («Стрела»), наоборот, рассматривает время уже как дискретное или прерывное, составленное из точек-моментов. Но и в этом случае, как показал Зенон, возникают трудности, но уже иного рода. Из чего с очевидностью вытекало, что трудности будут возникать всегда, если пытаться бездумно и залихватски применять количественные методы к описанию реальных физических процессов и самого движения - непрерывного по сути своей…

Вывод из всего этого таков. Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль непрерывного и дискретного (прерывного) в природе, адекватность физического движения и его математической модели. Эти дискуссии продолжаются и поныне, и им не видно конца.

Под влиянием возникших философских споров уже в глубокой Древности сформировались два полярных взгляда на строение материи и пространства. Первый утверждал их без-конечную делимость, второй - существование неделимых частиц, “атомов”. Пока побеждает вторая версия устройства физического мiра. Но это только пока…

В качестве наглядного примера рассмотрим самую известную апорию Зенона - «Ахиллес и черепаха». Её классическая формулировка звучит так:

«Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в 1000 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползёт ещё 10 шагов, и так далее. Процесс погони будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху».

С этим парадоксом Зенона, пришедшим из глубины веков, каждый из нас хотя бы раз в жизни сталкивался в быту, хотя и не догадывался об этом. Потому что каждый хотя бы раз катался на лодке, плоту, байдарке или катамаране, и помнит, как происходит конечный этап катания - причаливание к берегу. Чтобы причалить плавно и не удариться лодкой о пристань, нужно плавно же сбавлять скорость лодки (и ускорение, если уж быть совсем строгим и точным и соблюдать законы современного автоматического регулирования подобными процессами). Чем меньше будет становиться расстояние до пристани, тем, соответственно, меньше будет и скорость причаливания, которая будет стремиться к нулю, и лодка в конце концов почти совсем перестанет двигаться. Понятно, что так мы никогда не причалим, если только не хотим допустить соударения и обеспечить плавный и непрерывный процесс.

Поэтому-то в конце причаливания нужно непременно совершить рывок, перейти от непрерывного движения лодки к дискретному. И лодка при этом обязательно ударится о пристань, пусть даже и не сильно, чуть-чуть. Для примера с бытовой лодкой это не страшно: её вес не очень большой, и пристань она не разрушит и сама не пострадает. А вот для больших судов, военных или гражданских, всё происходит немножечко по-другому. Там не совершают конечных рывков и не бьются о пирс, а наоборот, тормозят и останавливаются в нескольких метрах от причала; а потом или спускают трап, и уже по нему спускаются сами, или же чалку кидают с борта, которую подхватывают матросы на берегу и рывком опять-таки притягивают судно к пирсу. Но в любом случае в конце надо всенепременно совершить рывок, то есть перейти от непрерывного хода к дискретному. Иначе мы никогда не причалим к берегу, или же, наоборот, судно и причал разобьём вдребезги. Что и показал когда-то давным-давно мудрый Зенон своими апориями…

2

Ну а теперь, если перейти непосредственно к истории создания современной теории множество, в основе которой лежит базовое понятие без-конечности, - то надо заметить читателям, что представления о потенциальной и актуальной без-конечностях сформировались достаточно давно - ещё в Античности. Пифагорейцы уже с этим активно работали, когда исследовали ряды натуральных чисел. Потенциальная бесконечность - это когда мы рассматриваем, к примеру, ряд натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д. и вместе с каждым числом мы чётко держим в уме, что можем взять и следующее число, т. е. без-конечность ряда натуральных чисел представляется нам как процесс. В этом случае мы говорим о потенциальной без-конечности. Натуральный ряд можно представить как ряд «развивающийся», «строящийся» по принципу (n+1); сиречь любое натуральное число может быть получено из предыдущего путем добавления к нему единицы.

Если же мы представим, что охватили, допустим, все натуральные числа сразу, как единое множество, и поместили их в некую капсулу, изолировав от остальных, - в этом случае, мы будем иметь дело уже с актуальной без-конечностью. Такой числовой ряд можно уже рассматривать как “завершённый” ряд, заданный всеми своими членами одновременно. Актуальная без-конечность, таким образом, представляет собой некий “сосуд” или “вместилище”, в котором разворачивается ряд потенциальной без-конечности.

«Множество - это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно». Такое определение множеству в математике дал Георг Кантор, родоначальник новой теории.

Далее напомним читателям, что великий и ужасный Аристотель категорически возражал против использования актуальной без-конечности в математике, ссылаясь на то, что, зная-де способы счёта конечного числа объектов, нельзя эти способы распространять на без-конечные множества: там они могут и не работать. Справедливое возражение, согласитесь! Аристотелю же принадлежит и знаменитый тезис «Infinitum Actu Non Datur», что в переводе с латыни означает утверждение о невозможности существования логических или математических (т.е. мыслимых, а не существующих в природе) актуально-без-конечных объектов. В итоге, благодаря Аристотелю, математики отвергли концепцию актуальной без-конечности на долгие времена.

В 17 веке другой гений, Галилео Галилей, вторя Аристотелю, глубокомысленно заявлял, что если, мол, в математике принять без-конечные актуальные (завершённые) множества, то «парадоксальным образом, чётных чисел должно быть столько же, сколько чётных и нечётных вместе взятых». Каково?!!!

С Аристотелем и Галилеем полностью согласны и некоторые современные достаточно крупные математики. Вот что думают о индукции и дедукции Э.Касснер и Д.Р.Ньюмен, которых мы уже цитировали выше, но здравые рассуждения которых не грех и повторить: «Когда математик говорит, что такие-то утверждения истинны для некоторого объекта, то это может быть интересно и наверняка безопасно. Но когда он пытается распространить свое утверждение на все объекты, то хотя это значительно более интересно, но и намного опаснее. В переходе от одного ко всему, от специального к общему математика добилась своих величайших успехов, но и испытала свои самые серьёзные неудачи, самую важную часть которых составляют логические парадоксы»…

3

И, тем не менее, призрев мнениями Аристотеля и Галилея, немецкий математик-вундеркинд Георг Кантор (1845-1918) (основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков) разрабатывает свою теорию множеств в надежде максимально приблизиться, как это представляется теперь, к разрешению парадоксов Зенона.

---------------------------------------------------------

(*) Краткая биография Кантора.

«Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 г. в России, в Санкт-Петербурге. Его мать, Мария Анна Бём, происходила из семьи талантливых музыкантов; наиболее известным был её дядя Жозеф Бём, директор консерватории в Вене и основатель школы скрипачей, откуда вышли многие виртуозы того времени. Его отец Георг Вольдемар Кантор был удачливым коммерсантом и благочестивым лютеранином, передавшим сыну глубокие религиозные убеждения.

Когда Кантор был ещё ребёнком, семья переехала из России в Германию, и именно там началось его обучение математике. В 1860 году Георг окончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете - крупнейшем центре математической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. Два года спустя он занял должность приват-доцента в Университете в Галле - респектабельном учреждении, но не столь престижном для математиков, как университеты в Гёттингене или Берлине. Один из его коллег в Галле, Генрих Эдуард Гейне, работал в то время над теорией тригонометрических рядов и он побудил Кантора заняться сложной проблемой единственности таких рядов. В 1872 г. в возрасте 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую весьма общее решение этой проблемы, в которой он использовал идеи, выросшие впоследствии в теорию безконечных множеств.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман. У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году (4 дочери и двое сыновей). Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Биографы отмечают, что даже в период своего медового месяца в горах Гарца Кантор много времени проводил за математическими беседами с другом Дедекиндом. В этом же 1874 году Кантор опубликовал в «Журнале Крелле» статью, в которой ввёл понятие мощности множества и показал, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше.

Кантор вышел на пенсию в 1913 году, живя в бедности и страдая от недоедания во время Первой Мiровой войны. Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз поступил в санаторий и постоянно писал жене, прося отпустить его домой. 6 января 1918 года у Георга Кантора случился смертельный сердечный приступ. Однако его теория множеств в конечном итоге стала общим языком, используемым в различных разделах современной математики». /Википедия/

---------------------------------------------------------

В 1873 году Кантор вводит в научный оборот произвольное (конечное или же без-конечное) числовое множество - предельно абстрактное понятие в математике.

«Множество - это единое имя для совокупности всех объектов, обладающих заданным свойством», - так говорил сам учёный про своё детище!!!

Кантор первым из математиков показал, что существуют без-конечные множества разных размеров. В 1874 году он публикует статью, в которой вводит понятие мощности множества (обобщение понятия количества) и показывает, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше.

Далее, с помощью взаимно-однозначных отображений он вводит ключевое понятие равномощности множеств, потом определяет сравнение мощностей на “больше-меньше” и, наконец, классифицирует множества по величине их мощности - конечные, счётные, континуальные, - определяет понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел. Тем самым в математику была введена на равных правах актуальная безконечность - крамольная и непостижимая вещь по сути, которую прежние корифеи математики от Аристотеля и до Гаусса включительно старательно и сознательно избегали: боялись её трогать во избежание головных болей и проблем.

В 1877 году Кантор получает поразительное открытие, выяснив с помощью всё тех же взаимно-однозначных отображений, что множества точек отрезка и точек квадрата имеют одну и ту же мощность (континуум), независимо от длины отрезка и ширины квадрата. Сиречь мощность двумерного континуума оказалась равной мощности континуума одного измерения.

Результат, полученный Кантором, оказался настолько парадоксальным, далёким от логики, интуиции и здравого смысла, что в письме к другому и апологету теории множеств Рихарду Дедекинду, он прямо написал:

«Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя и на протяжении многих лет я придерживался противоположного мнения».

Одновременно с этим Кантор сформулировал и безуспешно пытался доказать «континуум-гипотезу», получившую впоследствии почётный первый номер в списке 23-х знаменитых проблем Д.Гильберта! - настолько важной и значимой она оказалась для будущего развития математики.

А первая статья Кантора с изложением всех этих ключевых результатов появилась в 1878 году и называлась «К учению о многообразиях» (этот термин Кантор впоследствии заменил на множество)…

Из всего вышеизложенного можно сделать однозначный вывод, что Кантор первым из мiровых математиков предпринял отчаянное и широкое исследование математической без-конечности, получив при этом абсолютно новые и парадоксальные результаты. Он наполнил математическим содержанием идею актуальной без-конечности. Разработанная им теория множеств за счёт включения понятия актуальной без-конечности означала, по сути, РЕВОЛЮЦИЮ в истории естествознания, сравнимую с работами Пифагора и Коперника, неевклидовой геометрией, теорией относительности и квантовой механикой. Ведь до конца 19-го века ни одному математику мiра не удавалось формализовать понятие без-конечности - из трусливого осознания, что это-де абсолютно недостижимая величина. Георг Кантор был первым, кто обратился к такому непостижимому абстрактному объекту. Мало того, разработав теорию множеств, он пришёл к потрясающему выводу, что без-конечность без-конечности рознь; что, оказывается, существуют без-конечности разных размеров - счётные и континуальные...

Через несколько лет после его смерти его горячий поклонник и сторонник Давид Гильберт написал, что трансфинитная арифметика - это «...лучший продукт математического гения и одно из высших достижений чисто интеллектуальной человеческой деятельности».

 «…По идее, создание такого исчисления должно было произвести переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, всё выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил жизнь. Учёный твёрдо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями» /Советский учёный Стахов Алексей Петрович (1939-2021)/…

4

Ну и как водится в жизни и в науке, тот первый - “наивный” - вариант теории Кантора о трансфинитных числах первоначально был воспринят большинством крупных математиков Европы с большой долей скепсиса - как разрушающий-де многовековые традиции и устои, прежде всего, заложенные ещё математиками Древности. Традиции, принципиально и категорически отрицающие актуальную без-конечность как легальный математический объект.

Чтобы избегать парадоксов, математики до Кантора правомерной считали лишь потенциальную без-конечность. В связи с чем в 1831 г. своё отношение к завершённым без-конечностям Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выразил словами: «Что касается Вашего (Кантора - А.С.) доказательства, я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершённой, в математике это никак не допустимо. Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела».

Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что выдающийся французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) назвал теорию без-конечных множеств “болезнью”, от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер (1823-1891) - университетский учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора лично, называя его “шарлатаном”, “ренегатом” и “растлителем молодежи”…

Но, к счастью, была и другая группа математиков, особенно молодых, кто приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем и задач. Среди них - Дедекинд, Гильберт, Феликс Бернштейн, Анри Лебег, Феликс Клейн, Адольф Гурвиц, Эрнст Цермело, Н.Н.Лузин и другие...

Сам Кантор до последнего верил в то, что его теория трансфинитных чисел - не интеллектуальная забава гения и не выпендрёж, не игра больного воображения. Наоборот, она была сообщена ему якобы свыше как Откровение. И, значит, имеет онтологический статус, как и теологический и реальный смысл… Но стоило ему это всё очень и очень дорого. Столкнувшись с открытым неприятием своих идей со стороны учёного сообщества, Кантор сильно и много страдал от последовательных нервных срывов, пока не умер в психиатрической лечебнице…

Со временем “наивная” канторовская теория множеств была отлажена и вычищена от парадоксов (правда, это признают не все), поставлена на твёрдую аксиоматическую основу; после чего она по праву заняла место этакого краеугольного камня в современном построении оснований математики. На неё, к тому же, опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и другие важнейшие разделы математики. И сам этот факт о многом уже говорит…

5

А теперь, в свете всего вышесказанного, давайте попробуем реконструировать ход рассуждений Георга Кантора, мысленно представить, зачем он мучился, создавая свою теорию множеств, выслушивал упрёки и нападки коллег - ядовитые и нешуточные порой? И как это всё могло у него происходить - по какой именно внутренней логической схеме?   

Безусловно и очевидно, что он, обладая фундаментальным математическим образованием, был хорошо знаком и с геометрической теорией движения пифагорейцев, и с парадоксами Зенона, заставлявшими сомневаться в ней. И, вероятно, попытался понять, как непрерывное и дискретное (прерывное) сосуществуют в природе и в математике, и есть ли между ними связь? или же хоть какой-то гипотетический мостик? И адекватно ли отражает реальное физическое движение его математическая модель? И насколько адекватно? насколько можно доверять ей?

Это особенно было важно и нужно сделать - понять - после трудов Рене Декарта (1596-1650), введшего в научный обиход свой знаменитый метод координат для удобства работы и изучения геометрических объектов с помощью арифметических, численных или дискретных методов.

Система координат Декарта состояла из двух сначала, а потом и из трёх взаимно-перпендикулярных геометрических линий, или прямых - непрерывных математических объектов по определению. Они были названы осями координат или числовыми осями, на которых - по мысли отца-основателя - всюду плотно и равномерно были расположены другие математические объекты: вещественные числа - натуральные, рациональные, иррациональные и трансцендентные (к которым со временем исследователи добавили ещё супердействительные и гипервещественные), - заполняющие собой всю числовую ось.   

И перед гением Кантора по-видимому возник очевидный вопрос: это все числа, которые расположены на каждой из трёх осей? Или существует великое множество других чисел, пока что неизвестных науке?... А если это так, то как описывать и возможно ли описывать их обычными конечными множествами и финитными методами? И как вообще средствами арифметики, вещественными (действительными) числами, можно адекватно, то есть исчерпывающе и однозначно, описывать и отображать геометрическую непрерывность прямой линии?... Или по-другому: как геометрический континуум абсолютно, точно и строго соединить с числовым континуумом, наложить один на другой? как они соотносятся друг с другом? И соотносятся ли вообще? Не появятся ли там при наложении “пустоты”?... Да и существует ли он, континуум вещественных чисел, континуум числовой оси? поддаётся ли описанию и изучению? - если у точки, ЛЮБОЙ, лежащей на прямой, не существует соседней! Какую соседнюю точку ни выбери для примера, сколь угодно близко расположенную к выбранной, меж ними всенепременно окажется без-конечное множество других точек. Причём ровно столько же, как и на всей числовой оси. Парадокс, да и только! Диво дивное, или же чудо какое-то из чудес, не доступное для понимания и осмысления!... И вообще, континуум вещественных чисел - это множество, даже и самое мощное, огромный набор чего-то, что можно пощупать, измерить и пересчитать? Или же это нечто качественно принципиально иное, имеющее иную, не точечную, структуру и статус? Божественный статус и божественное начало, если хотите, начало начал, из которого всё и рождается как из чёрной дыры! Вся математика, по крайней мере!...

Тогда всенепременно и даже жизненно необходима теория множеств: чтобы хотя бы приблизительно понимать, что есть такое числовой континуум и как с ним работать дальше. Без такого понимания математики с места не сдвинутся, или же как слепые котята будут ходить по кругу, людей смешить… Разрабатывая же и развивая теорию множеств, математики будут автоматически развивать и теорию вещественного числа, которую везде и вовсю теперь применяют. Но как можно применять в исследованиях и расчётах то, что до конца не выяснено и не познано? Это обязательно приведёт к новым парадоксам “нового Зенона”…

6

Такие приблизительно или схожие мысли должны были роиться в голове молодого Кантора, когда он задумывался над созданием новой математической теории - теории множеств, имеющей дело с актуальной без-конечностью. С Божьим Промыслом - понимай, с Вечностью. Автор это дело видит именно так.

И на первых порах, как уже было сказано, канторовская теория множеств встретила в научном мiре в целом достаточно холодный и сухой приём - из-за своей очевидной революционности. Но она, тем не менее, помогла успешно разрешить некоторые нетривиальные вопросы: обобщить жорданову теорию меры, например; плюс к этому, она успешно стала использоваться в теории интеграла Лебега. Поэтому критики и недоброжелатели поутихли на время, а сторонники и некоторые горячие головы стали рассматривать её уже чуть ли ни как панацею от всех методологических казусов и проблем, и, одновременно, как будущий могучий фундамент вообще всей математики.

---------------------------------------------------------

(*) Мера Жордана - один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объёма в n-мерном евклидовом пространстве.

(*) Интеграл Лебега - это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Отметим, что все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми и по Лебегу; причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. К данному классу принадлежат функции, имеющие точки разрыва: с такими функциями интеграл Римана не работает.

Критерий Лебега гласит: «Функция интегрируема на конечном отрезке числовой прямой тогда и только тогда, если множество её точек разрыва есть множество меры ноль».

---------------------------------------------------------

До появления противоречий (антиномий) подобное происходило, возникавших в результате совершенно корректных рассуждений, которые не удавалось сгладить ни с помощью привычной логики, ни интуицией: без-конечные объекты исследования логику и интуицию, понятное дело, полностью исключали.

Первое противоречие обнаружилось быстро: при рассмотрении самого большого множества - множества всех множеств. И его пришлось исключить из теории как недопустимое (что уже покоробило многих).

Ну а потом противоречия посыпались как из худого ведра горох в виде известных всем парадоксов:

- парадокс Бурали-Форти;

- парадокс Кантора;

- парадокс Рассола;

- парадокс Тристана Шенди;

- парадокс Банаха-Тарского;

- парадокс Хаусдорфа;

- парадокс Скулема.

Большинство из указанных парадоксов были открыты на рубеже 19-го и 20-го веков в результате абсолютно корректных рассуждений, повторим. Они-то и стали последним, самым звонким аккордом или тревожным гудком очередного, третьего по счёту, кризиса первооснов математики, начало которому, напомним, положил русский учёный Николай Иванович Лобачевский своей неевклидовой геометрией…

Положение усугубило опубликование шокирующей и губительной «аксиомы выбора» (1904, Цермело). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого вообще ничего не известно…

Обнаружение антиномий в теории множеств сотрясло математику, поставив под сомнение самые её основы. «Подумайте, - с ужасом сокрушался Давид Гильберт, - в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений приводит к нелепостям!!! Где же тогда искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?...»

В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия - парадокса Бурали-Форти, крайне обеспокоившего Гильберта. В письмах Кантор выразил мнение (абсолютно разумное и справедливое, на скромный авторский взгляд), что в дальнейшем, чтобы избежать парадоксов, в теории множеств следует строго разграничить два различие типа понятий - трансфинитные и абсолютные («недоступные»). Из них, дескать, только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению, не больше того.

Но максималиста и сугубого реалиста-Гильберта эта канторовская метафизика не устроила. Потому что, по его твёрдому убеждению, которое он пронёс через всю свою славную и необычайно насыщенную в творческом плане жизнь, НЕРАЗРЕШИМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НЕТ И БЫТЬ НЕ МОЖЕТ! Человеческий разум всемогущ - потому что являет собой часть Божественного Разума, или Абсолюта!...

Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее общепринятым) было найдено только через 30 лет - после замены «наивной теории множеств» Кантора на аксиоматическую, исключившую «недоступные» множества из числа легальных понятий…

Сегодня более-менее понятно, что парадоксы теории множеств, как и всей математики в целом связаны с тем, что множество не есть универсум. Оно недостаточно для отражения Всеобщего в Знании, целостности Знания как такового. А предельные конструкции, ведущие к Единому или Всеобщему, как правило - исключаются из математических теорий и расчётов по причине очевидной и естественной слабости разума человеческого. Потому и приводят и будут приводить в будущем царицу наук к новым казусам и парадоксам…

7

Разумеется, крупные математики Европы и России того периода не могли остаться в стороне от свалившихся на их головы противоречий и спокойно наблюдать тот бардак, или пожар, если помягче и покультурнее, что охватил их горячо-любимую дисциплину. Особенно, после опубликования и введения в оборот абстрактной и чрезвычайно-коварной теории множеств, доставившей столько неясностей и проблем.

Научный мiр с тех пор разделился на две равновеликие части. Одни откровенно и от души поносили Кантора, не жалея эпитетов, самых уничижительных и откровенных. Другие как могли, защищали.

Анри Пуанкаре, например, вначале принявший теорию Кантора и использовавший её в некоторых своих изысканиях, позже её решительно отверг и даже назвал «тяжёлой болезнью математики». Он выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся.

Очень возмущался и Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, где трудился Кантор, и даже долго запрещал публикацию первой его статьи «К учению о многообразиях». Кронекер, считающийся предтечей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку её доказательства нередко носят-де неконструктивный характер, без построения конкретных примеров. Понятие же “актуальная без-конечность” Кронекер и вовсе считал абсурдным и неприемлемым.

Сам же Кантор будто бы в пику своему начальнику придерживался того мнения - как и большинство современных математиков, к слову, - что любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим…

Пуанкаре и Кронекера чуть позже решительно поддержали в этом вопросе Герман Вейль, Лёйтзен Брауэр и Эмиль Борель (из российско-советских учёных - Д.М.Егоров, И.М.Виноградов, М.А.Лаврентьев, И.Г.Петровскй, Л.С.Понтрягин, М.В.Келдыш), которых более всего коробила “аксиома выбора”. Уже потому, хотя бы, что некоторые следствия аксиомы противоречили интуиции (выше упомянутый парадокс Банаха-Тарского, например).

Другая группа учёных, включая Б.Рассела и Д.Гильберта, наоборот, выступила, пусть и с некоторыми оговорками, в защиту «канторизма». Бертран Рассел, например, оценил теорию множеств как «один из главных успехов нашей эпохи». Давид Гильберт и вовсе назвал Кантора «математическим гением» и заявил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».

В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду - медаль Сильвестра…

Со временем круг сторонников «канторизма» только расширялся. Молодые математики охотно приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем, подвели под неё аксиоматическую базу. Среди них, повторим, значатся фамилии Дедекинда, Гильберта, Феликса Бернштейна, Анри Лебега, Феликса Клейна, Адольфа Гурвица, Эрнста Цермело и других математиков с мiровым именем.

Из российско-советских математиков ярыми и убеждёнными сторонниками теоретико-множественного подхода ко всей математике в целом являлись в 1920-е годы академик Н.Н.Лузин и его школа. А затем эстафетную палочку подхватил академик А.Н.Коломогоров и его многочисленные ученики. Во второй половине 1970-х годов, при реформировании всей школьной математики России, досужие колмогоровцы умудрились даже вставить некоторые элементы данной неочевидной и достаточно спорной теории в образовательные программы десятиклассников РСФСР.

Эффект получился ошеломляющий: математическая культура населения резко снизилась, интерес к математике, как царице наук, также резко упал. Учителя и школьники перестали что-либо понимать - чего, собственно, и добивались лукавые реформаторы. Так это теперь видится по прошествии лет...

Часть восьмая

«Математика - свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”...» /Л. Э. Я. Брауэр/.

1

За словами и спорами, поддержкой, наградами и поношением последовали и дела. Годы, знаменующие собой начало 20-го века в Европе, как раз и были посвящены тамошними учёными наведению порядка на “своей кухне”: попыткам обосновать и формализовать современную им математику, заложить надёжный для неё фундамент, или основания. И этим доказать её полноту, истинность и непротиворечивость. И, главное, нужность мiру, - в чём у сторонних людей уже стали возникать пусть и робкие, но сомнения…

Основные направления разработки оснований математики, коротко, выглядят так.

ЛОГИЗМ

Идея математической логики (или математизации формальной логики) впервые в ясной и адекватной форме была выдвинута Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) - незаурядным немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом; основателем и первым президентом Берлинской Академии наук, членом Лондонского королевского общества, иностранным членом Французской Академии наук. Так вот, одним из первых Лейбниц высказал мысль о введении в буквенную логику Аристотеля математической символики и использовании в логике математических методов. Однако Лейбниц не создал законченной формализованной логической системы: знаний и опыта не хватило. Хотя он значительно усовершенствовал счётную машину, ранее изобретённую Паскалем, и выдвинул первые идеи о “machina rationatrix”, думающей машине…

К концу 19-го столетия окончательно сложилась алгебра логики, чего при Лейбнице не было и в помине. Проблемы строгого и точного обоснования математики, как и необходимость аксиоматического её изложения стали предметом пристального исследования в работах Фреге (1848-1925) и Пеано (1858-1932). Последний придал математической логике её современную форму.

Джузеппе Пеано в 1894 г. начал работу над изданием «Formulaire de Mathmatiques» («Формуляр математики»), в котором все математические дисциплины должны были бы предстать в форме логического исчисления. Пеано реализовал свой грандиозный проект «Formulario Mathematico», направленный на формализованное представление всех разделов математики в символике математической логики, в пяти изданиях в течение 1895-1908 гг., собрав в последнем из них приблизительно 4200 теорем на 516 страницах. При этом он, не чинясь и не приписывая себе чужого, заявил, что «он до некоторой степени реализовал метафизическую программу Лейбница, что представляется справедливым, так как Пеано создал и логическую идеографию, т.е. символический язык, который впоследствии стал общеупотребительным, и формальную систему, представляющую математическое знание.

Пеано впервые сформулировал задачу применения символической логики с целью дедуктивно-аксиоматического построения всей математики. Ему же принадлежит система аксиом для формальной арифметики натуральных чисел»...

Завершается процесс представления математики как продолжения логики созданием фундаментального 3-томного труда «Principia Mathematica» (1910-1913) британскими математиками Бертраном Расселом (1872-1970) и Альфредом Нортом Уайтхедом (1861-1947).

Уайтхед и Рассел начали совместную работу по основаниям математики в 1903 г. в «целях развития всего математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода». Краеугольным камнем предпринятой ими работы выступает «логистическая концепция, которая утверждает, что математика принципиально сводима к формальной логике». Эта концепция включает в себя два важнейших положения:

- все математические истины могут быть сформулированы в терминах некоторого символического языка и распознаваться как логические истины;

- все математические доказательства могут быть переформулированы как символьные цепи логического вывода.

Появлением фундаментального труда «Principia Mathematica», составившего основу логицизма и теории типов и сразу же ставшего классикой, «заканчивается этап создания классических логических исчислений с целью представления всех математических дисциплин как формальных исчислений»...

И тут непременно надо сказать, что логицизм Уайтхеда и Рассела подвергся резкой критике со стороны Анри Пуанкаре, Давида Гильберта и Германа Вейля…

ИНТУИЦИОНИЗМ - идейный антипод логизма.

Одно из ключевых положений интуиционистской философии математики состоит в том, что математика как наука представляет полностью автономную и самодостаточную деятельность. Она не нуждается ни в каких внешних гарантиях; всё, что ей необходимо, содержится в ней самой.

«Математика - свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”...» /Л. Э. Я. Брауэр/.

Известный французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), критически оценивая и обобщая собственные математические прозрения и наработки, актуализировал идею интуиции, лежащую в основе его творческого метода. По его мысли, любая теория - это последующая формализация первоначально интуитивной идеи. В этом смысле Пуанкаре являлся продолжателем философии Рене Декарта с его представлениями о врождённых идеях, являющихся основаниями всего познания вообще.

----------------------------------------------------------

(*) Мiровоззрение Пуанкаре (краткие зарисовки).

«Пуанкаре подчёркивает роль интуиции в математическом рассуждении. Он говорит, что математическое рассуждение имеет “род творческой силы” и тем отличается от цепи силлогизмов (силлогизм, напомним, – логическое умозаключение, в котором из двух данных суждений (посылок) получается третье (вывод) – А.С.). Особенно он выделяет математическую индукцию, которая, по его словам, “содержит бесконечное число силлогизмов, как бы сжатое в одной формуле”. Когда он говорит, что математик в принципе отличается от шахматиста, что он не может быть заменён никаким механическим устройством, то кажется, что ему лишь не хватало нужного термина, чтобы сформулировать свою мысль короче: “математик не может быть заменен компьютером”.

Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения, оно привлекательно как раз ввиду содержащегося в нём эстетического элемента. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем - для этого была бы нужна лишь хорошая память. Но известно, что большинству людей математика даётся с трудом. Пуанкаре видит причину в том, что силлогизмы складываются в математике в “структуру”, обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо “увидеть” эту красоту, а это требует эстетических способностей, которыми не все обладают.

Пуанкаре предлагает очень интересную схему математического творчества. Он связывает его с делением человеческой психики на сознательную и бессознательную части. Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на решение некоторой проблемы. Эти усилия повышают активность бессознательной части психики. Там появляется множество новых комбинаций математических объектов - как бы возможных фрагментов решения. Они возникают в громадном количестве и с колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту фазу с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих комбинаций бесполезна для решения проблем. Они, за очень небольшим исключением, не достигают сознания, проходят отбор, основанный на эстетическом принципе, некий эстетический барьер позволяет лишь небольшому их числу проникнуть в сознание. Они появляются там как готовая идея решения, причём это сопровождается очень сильным субъективным чувством уверенности в правильности идеи. Дальше остаётся лишь техническая работа по осуществлению найденного решения.

Эта схема, очевидно, напоминает картину эволюции, основанную на мутациях и естественном отборе, и, вероятно, возникла под её влиянием. Гораздо позже, видимо, не зная об идеях Пуанкаре, Конрад Лоренц высказал аналогичные мысли. Он рассматривает жизнь как “процесс обучения”, “познавательный процесс”. Он подчёркивает черты, общие обоим явлениям - мышлению и эволюции, - такие, как “творческое озарение”, “творческий акт”, когда после долгих поисков “почти мгновенно” возникает новая идея или новый вид. Но можно эту аналогию обратить и взглянуть на эволюцию как на результат деятельности некоего гигантского интеллекта или души Природы. Концепция “anima mundi” (души Природы) возникала в различных философских и мистических учениях: у Платона, в христианстве. Когда в молодости я читал работы Пуанкаре, мне пришла в голову мысль об эволюции как процессе мышления; она показалась очень привлекательной. Только много позже я узнал, что ещё до Дарвина знаменитый естествоиспытатель Л.Агассис рассматривал эволюцию как “мышление Бога”. Но если продолжить эту аналогию, то насколько красивее окажется точка зрения Пуанкаре сравнительно с принятой сейчас концепцией: решающим фактором в эволюции оказывается не “борьба за существование”, а эстетический критерий. Тогда становится понятным, почему природа порождает не только прекрасные растения и животных, но и решения проблемы адаптации видов, которые по красоте не уступают самым совершенным научным теориям» /И.Р. Шафаревич/...

----------------------------------------------------------

Предшественники данного направления: Рене Декарт, Эммануил Кант, Леопольд Кронекер, Анри Пуанкаре. Развил же и довёл до совершенства идеи интуиционизма всего один человек - Лёйтзен Брауэр в 1910-е годы.

Лёйтзен Э́гберт Ян Бра́уэр (1881-1966) - голландский философ и математик, работавший в таких областях как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ. Положил начало новому направлению в математике - интуиционизму. Подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного). Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А.Гейтингом и не содержащей указанных законов (это из Википедии).

Философские принципы интуиционизма Брауэра таковы.

Логисты и формалисты видели в парадоксах классической математики заболевание, которое требует лечения и которое можно вылечить, если подобрать подходяще логическое лекарство. Интуиционисты считали парадоксы симптомом болезни, лечение которой требует полной перестройки всей математики. Самая радикальная программа такой перестройки как раз и была предложена Брауэром.

«По его мнению, положение дел в обосновании математики в начале XX в. представляет следствие изменений ведущих философских установок на отношение математики к опыту, языку и логике. Основной тренд этих изменений - сдвиг интереса от объекта к субъекту и, как следствие, постепенное освобождение математики от диктата опыта, языка и логики.

Убеждение в безусловной точности законов математики, полагает Брауэр, являлось предметом дискуссии многие сотни лет и в конце концов привело к возникновению двух соперничающих школ - интуиционизма и формализма (к которой Брауэр причисляет и логицизм). Интуиционисты признают в качестве источника точности математики человеческий интеллект, формалисты - бумагу.

«В философии Канта, - писал Брауэр, - мы находим старую форму интуиционизма, ныне почти отброшенную, в которой время и пространство считаются априорными формами чувственности, прирожденными человеческому разуму. Для Канта аксиомы арифметики и геометрии - априорные синтетические суждения, т. е. суждения, независимые от опыта и недоказуемые аналитически; именно этим объяснялась их аподиктическая точность в мире опыта и в абстракции. Поэтому для Канта возможность экспериментального опровержения арифметических и геометрических законов не только исключалась твёрдым убеждением в их истинности, но и была просто немыслима.

Диаметрально противоположна точка зрения формализма, который утверждает, что человеческий разум имеет в своём распоряжении образов прямых линий или чисел, скажем, не более десяти, и поэтому источник этих математических объектов находится не в нашем представлении природы, а в самой природе... Для формалиста, следовательно, математическая точность сводится к созданию метода вывода одних отношений об объектах из других и не зависит от значения, которое можно приписать этим отношениям или связываемым ими объектам»...» /выдержка из математического словаря/…

Идеи Брауэра впоследствии активно защищали Герман Вейль и Аренд Гейтинг. Главное правило или вдохновляющий девиз учёных этого направления - «аксиоматизация и доказательство непротиворечивости – напрасный труд: интуиция не содержит противоречий»...

ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ФОРМАЛИЗМ.

Напомним читателям, что точка зрения Канта на априорный характер окружающего человека пространства, прекрасно описанного Евклидом, оказалась сильно поколебленной открытиями Лобачевского и Римана. Стало ясно как дважды два, что геометрия более не является наукой о свойствах одного единственного реального с точки зрения чувств 3-мерного пространства. Материальный мiр в действительности оказался куда сложней и замысловатей, чем думали про него раньше. А это значит - надо было менять и научные представления о нём.

Безуспешные попытки разрешения парадоксов теории множеств привели математиков к убеждению, что причины глобального кризиса «царицы наук» лежат в области фундаментальных понятий и способах рассуждений. Назрела необходимость переосмысления принципов математики и отказа от некоторых старых концепций.

Ободрённые этими открытиями формалисты предположили, что математические формализмы, как и логические истины, не являются абстракциями опыта и попытались вообще устранить всякое различие между логикой и математикой, доказать их полное единство. Ими двигало страстное и похвальное желание доказать непротиворечивость всей математики, избавить её раз и навсегда от существующих и будущих парадоксов.

Лидером этого направления стал Давид Гильберт, самый выдающийся мыслитель и творец за всю мiровую историю естествознания (на скромный авторский взгляд), которого по праву считают архитектором современной математики.

«Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним. Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе» /Герман Вейль/.

----------------------------------------------------------

(*) «Дави́д Ги́льберт (1862-1943) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. Член многих европейских академий наук, иностранный почётный член Академии наук СССР (1934). Лауреат премии имени Н.И.Лобачевского (1903). В 1910-1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мiровым лидером математиков.

Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики. Наиболее известны его первая полная аксиоматика евклидовой геометрии и теория гильбертовых пространств, одна из основ современного функционального анализа. Он внёс значительный вклад в теорию инвариантов, общую алгебру, математическую физику, интегральные уравнения и основания математики.

Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

- Теория инвариантов (1885-1893).

- Теория алгебраических чисел (1893-1898).

- Основания геометрии (1898-1902).

- Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).

- Теория интегральных уравнений (1902—1912).

- Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).

- Математическая физика (1910—1922).

- Основания математики (1922—1939)» /Википедия/.

----------------------------------------------------------

«Программа обоснования математики на базе математической логики с помощью «аксиоматического метода» была сформулирована Гильбертом в 1900 году на II Международном Конгрессе математиков, проходившем в Париже. Именно с предпринятой ... Читать следующую страницу »

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12